Capítulo 20: Árvores ¶

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Capítulo 20: Árvores

Nota

Veja a discussão sobre o vocabulário usado no fim da página.

Como listas ligadas, árvores são constituídas de células. Uma espécie comum de árvores é a árvore binária, em que cada célula contém referências a duas outras células (possivelmente nulas). Tais referências são chamadas de subárvore esquerda e direita. Como as células de listas ligadas, as células de árvores também contém uma carga. Um diagrama de estados para uma árvore pode aparecer assim:

Para evitar a sobrecarga da figura, nós frequentemente omitimos os Nones.

O topo da árvore (a célula à qual o apontador tree se refere) é chamada de raiz. Seguindo a metáfora das árvores, as outras células são chamadas de galhos e as células nas pontas contendo as referências vazia são chamadas de folhas. Pode parecer estranho que desenhamos a figura com a raiz em cima e as folhas em baixo, mas isto nem será a coisa mais estranha.

Para piorar as coisas, cientistas da computação misturam outra metáfora além da metáfora biológica - a árvore genealógica. Uma célula superior pode ser chamada de pai e as células a que ela se refere são chamadas de seus filhos. Células com o mesmo pai são chamadas de irmãos.

Finalmente, existe também o vocabulário geométrico para falar de árvores. Já mencionamos esquerda e direita, mas existem também as direções “para cima” (na direção da raiz) e “para baixo” (na direção dos filhos/folhas). Ainda nesta terminologia, todas as células situadas à mesma distância da raiz constituem um nível da árvore.

Provavelmente não precisamos de três metáforas para falar de árvores, mas aí elas estão.

Como listas ligadas, árvores são estruturas de dados recursivas já que elas são definidas recursivamente:

Uma árvore é

a árvore vazia, representada por None, ou

uma célula que contém uma referência a um objeto (a carga da célula) e duas referências a árvores.

20.1 Construindo árvores ¶

O processo de montar uma árvore é similar ao processo de montar uma lista ligada. cada invocação do construtor cria uma célula.

class Tree :
  def __init__(self, cargo, left=None, right=None) :
    self.cargo = cargo
    self.left  = left
    self.right = right

  def __str__(self) :
    return str(self.cargo)

A carga pode ser de qualquer tipo, mas os parâmetros left e right devem ser células. left e right são opcionais; o valor default é None.

Para imprimir uma célula, imprimimos apenas a sua carga.

Uma forma de construir uma árvore é de baixo para cima. Aloque os filhos primeiro:

left = Tree(2)
right = Tree(3)

Em seguida crie a célula pai e ligue ela a seus filhos:

tree = Tree(1, left, right);

Podemos escrever este código mais concisamente encaixando as invocações do construtor:

>>> tree = Tree(1, Tree(2), Tree(3))

De qualquer forma, o resultado é a árvore que apareceu no início do capítulo.

20.2 Percorrendo árvores ¶

Cada vez que Você vê uma nova estrutura de dados, sua primeira pergunta deveria ser “Como eu percorro esta estrutura?” A forma mais natural de percorrer uma árvore é fazer o percurso recursivamente. Por exemplo, se a árvore contém inteiros na carga, a função abaixo retorna a soma das cargas:

def total(tree) :
  if tree == None : return 0
  return total(tree.left) + total(tree.right) + tree.cargo

O caso base é a árvore vazia, que não contém nenhuma carga, logo a soma das cargas é 0. O passo recursivo faz duas chamadas recursivas para achar a soma das cargas das subárvores dos filhos. Ao finalizar a chamada recursiva, adicionamos a carga do pai e devolvemos o valor total.

20.3 Árvores de expressões ¶

Uma árvore é uma forma natural para representar a estrutura de uma expressão. Ao contrário de outras notações, a árvore pode representar a computação de forma não ambígua. Por exemplo, a expressão infixa 1 + 2 * 3 é ambígua, a menos que saibamos que a multiplicação é feita antes da adição.

A árvore de expressão seguinte representa a mesma computação:

As células de uma árvore de expressão podem ser operandos como 1 e 2 ou operações como + e *. As células contendo operandos são folhas; aquelas contendo operações devem ter referências aos seus operandos. (Todos os nossos operandos são binários, significando que eles tem exatamente dois operandos.)

Podemos construir árvores assim:

>>> tree = Tree('+', Tree(1), Tree('*', Tree(2), Tree(3)))

Examinando a figura, não há dúvida quanto à ordem das operações; a multiplicação é feita primeiro para calcular o segundo operando da adição.

Árvores de expressão tem muitos usos. O exemplo neste capítulo usa árvores para traduzir expressões para as notações pósfixa, prefixa e infixa. Árvores similares são usadas em compiladores para analisar sintaticamente, otimizar e traduzir programas.

20.4 Percurso de árvores ¶

Podemos percorrer uma árvore de expressão e imprimir o seu conteúdo como segue:

def printTree(tree) :
  if tree == None : return
  print (tree.cargo, end="")
  printTree(tree.left)
  printTree(tree.right)

Em outras palavras, para imprimir uma árvore, imprima primeiro o conteúdo da raiz, em seguida imprima toda a subárvore esquerda e finalmente imprima toda a subárvore direita. Esta forma de percorrer uma árvore é chamada de préordem, porque o conteúdo da raiz aparece antes dos conteúdos dos filhos. Para o exemplo anterior, a saída é:

>>> tree = Tree('+', Tree(1), Tree('*', Tree(2), Tree(3)))
>>> printTree(tree)
+ 1 * 2 3

Esta notação é diferente tanto da notação pósfixa quanto da infixa; é uma notação chamada de prefixa, em que os operadores aparecem antes dos seus operandos.

Você pode suspeitar que se Você percorre a árvore numa ordem diferente, Você produzirá expressões numa notação diferente. Por exemplo, se Você imprime subárvores primeiro e depois a raiz, Você terá:

def printTreePostorder(tree) :
  if tree == None : return
  printTreePostorder(tree.left)
  printTreePostorder(tree.right)
  print (tree.cargo, end="")

O resultado, 1 2 3 * +, está na notação pósfixa! Esta ordem de percurso é chamada de pósordem.

Finalmente, para percorrer uma árvore em inordem, Você imprime a subárvore esquerda, depois a raiz e depois a subárvore direita:

def printTreeInorder(tree) :
  if tree == None : return
  printTreeInorder(tree.left)
  print (tree.cargo, end="")
  printTreeInorder(tree.right)

O resultado é 1 + 2 * 3, que é a expressão na notação infixa.

Para sermos justos, devemos lembrar que acabamos de omitir uma complicação importante. algumas vezes quando escrevemos expressões na notação infixa devemos usar parêntesis para prescrever a ordem das operações. Ou seja, um percurso em inordem não é suficiente para gerar a expressão infixa.

Ainda assim, com alguns aperfeiçoamentos, a árvore de expressão e os três modos recursivos de percurso resultam em algoritmos para transformar expressões de uma notação para outra.

Como um exercício, modifique `printTreeInorder` de modo que ele coloque parêntesis em volta de cada operador e par de operandos. A saída é correta e não ambígua? Os parêntesis são sempre necessários?

Se percorrermos uma árvore em inordem e acompanharmos em qual nível na árvore estamos, podemos gerar uma representação gráfica da árvore:

def printTreeIndented(tree, level=0) :
  if tree == None : return
  printTreeIndented(tree.right, level+1)
  print ('  '*level + str(tree.cargo))
  printTreeIndented(tree.left, level+1)

O parâmetro level registra aonde estamos na árvore. Por ‘default’, o nível inicialmente é zero. A cada chamada recursiva repassamos level+1 porque o nível do filho é sempre um a mais do que o nível do pai. Cada item é indentado dois espaços por nível. Para o nosso exemplo obtemos:

>>> printTreeIndented(tree)
    3
  *
    2
+
  1

Se Você deitar a saída acima Você enxerga uma versão simplificada da figura original.

20.5 Construindo uma árvore de expressão ¶

Nesta seção analisamos expressões infixas e construímos as árvores de expressã correspondentes. Por exemplo, para a expressão (3+7)*9 resultará a seguinte árvore:

Note que simplificamos o diagrama omitindo os nomes dos campos.

O analisador que escreveremos aceitará expressões que incluam números, parêntesis e as operações + e *. Vamos supor que a cadeia de entrada já foi tokenizada numa lista do Python. A lista de tokens para a expressão (3+7)*9 é:

['(', 3, '+', 7, ')', '*', 9, 'end']

O token final end é prático para prevenir que o analisador tente buscar mais dados após o término da lista.

A título de um exercício, escreva uma função que recebe uma expressão na forma de uma cadeia e devolve a lista de tokens.

A primeira função que escreveremos é getToken que recebe como parâmetros uma lista de tokens e um token esperado. Ela compara o token esperado com o o primeiro token da lista: se eles batem a função remove o token da lista e devolve um valor verdadeiro, caso contrário a função devolve um valor falso:

def getToken(tokenList, expected) :
  if tokenList[0] == expected :
    tokenList[0:1] = []   # remove the token
    return 1
  else :
    return 0

Já que tokenList refere a um objeto mutável, as alterações feitas aqui são visíveis para qualquer outra variável que se refira ao mesmo objeto.

A próxima função, getNumber, trata de operandos. Se o primeiro token na tokenList for um número então getNumber o remove da lista e devolve uma célula folha contendo o número; caso contrário ele devolve None.

def getNumber(tokenList) :
  x = tokenList[0]
  if type(x) != type(0) : return None
  del tokenList[0]
  return Tree(x, None, None)

Antes de continuar, convém testar getNumber isoladamente. Atribuímos uma lista de números a tokenList, extraímos o primeiro, imprimimos o resultado e imprimimos o que resta na lista de tokens:

>>> tokenList = [9, 11, 'end']
>>> x = getNumber(tokenList)
>>> printTreePostorder(x)
9
>>> print (tokenList)
[11, 'end']

Em seguida precisaremos da função getProduct, que constrói uma árvore de expressão para produtos. Os dois operandos de um produto simples são números, como em 3 * 7.

Segue uma versão de getProduct que trata de produtos simples.

def getProduct(tokenList) :
  a = getNumber(tokenList)
  if getToken(tokenList, '*') :
    b = getNumber(tokenList)
    return Tree('*', a, b)
  else :
    return a

Supondo que a chamada de getNumber seja bem sucedida e devolva uma árvore de uma só célula atribuímos o primeiro operando a à`. Se o próximo caractere for *, vamos buscar o segundo número e construir a árvore com a, b e o operador.

Se o caractere seguinte for qualquer outra coisa, então simplesmente devolvemos uma célula folha com a. Seguem dois exemplos:

>>> tokenList = [9, '*', 11, 'end']
>>> tree = getProduct(tokenList)
>>> printTreePostorder(tree)
9 11 *


>>> tokenList = [9, '+', 11, 'end']
>>> tree = getProduct(tokenList)
>>> printTreePostorder(tree)
9

O segundo exemplo sugere que nós consideramos um operando unitário como uma espécie de produto. Esta definição de “produto” talvez não seja intuitiva, mas ela será útil.

Agora tratamos produtos compostos, como 3 * 5 * 13. Encaramos esta expressão como um produto de produtos, mais precisamente como 3 * (5 * 13). A árvore resultante é:

Com uma pequena alteração em getProduct, podemos acomodar produtos arbitrariamente longos:

def getProduct(tokenList) :
  a = getNumber(tokenList)
  if getToken(tokenList, '*') :
    b = getProduct(tokenList)        # this line changed
    return Tree('*', a, b)
  else :
    return a

Em outras palavras, um produto pode ser um singleton ou uma árvore com * na raiz, que tem um número como filho esquerdo e um produto como filho direito. Este tipo de definição recursiva devia começar a ficar familiar.

Testemos a nova versão com um produto composto:

>>> tokenList = [2, '*', 3, '*', 5 , '*', 7, 'end']
>>> tree = getProduct(tokenList)
>>> printTreePostorder(tree)
2 3 5 7 * * *

A seguir adicionamos o tratamento de somas. De novo, usamos uma definição de “soma” que é ligeiramente não intuitiva. Para nós, uma soma pode ser uma árvore com + na raiz, que tem um produto como filho esquerdo e uma soma como filho direito. Ou, uma soma pode ser simplesmente um produto.

Se Você está disposto a brincar com esta definição, ela tem uma propriedade interessante: podemos representar qualquer expressão (sem parêntesis) como uma soma de produtos. Esta propriedade é a base do nosso algoritmo de análise sintática.

getSum tenta construir a árvore com um produto à esquerda e uma soma à direita. Mas, se ele não encontra uma +, ele simplesmente constrói um produto.

def getSum(tokenList) :
  a = getProduct(tokenList)
  if getToken(tokenList, '+') :
    b = getSum(tokenList)
    return Tree('+', a, b)
  else :
    return a

Vamos testar o algoritmo com 9 * 11 + 5 * 7:

>>> tokenList = [9, '*', 11, '+', 5, '*', 7, 'end']
>>> tree = getSum(tokenList)
>>> printTreePostorder(tree)
9 11 * 5 7 * +

Quase terminamos, mas ainda temos que tratar dos parêntesis. Em qualquer lugar numa expressão onde podemos ter um número, podemos também ter uma soma inteira envolvida entre parêntesis. Precisamos, apenas, modificar getNumber para que ela possa tratar de subexpressões:

def getNumber(tokenList) :
  if getToken(tokenList, '(') :
    x = getSum(tokenList)      # get subexpression
    getToken(tokenList, ')')    # eat the closing parenthesis
    return x
  else :
    x = tokenList[0]
    if type(x) != type(0) : return None
    tokenList[0:1] = []   # remove the token
    return Tree(x, None, None)    # return a leaf with the number

Testemos este código com 9 * (11 + 5) * 7:

>>> tokenList = [9, '*', '(', 11, '+', 5, ')', '*', 7, 'end']
>>> tree = getSum(tokenList)
>>> printTreePostorder(tree)
9 11 5 + 7 * *

O analisador tratou os parêntesis corretamente; a adição é feita antes da multiplicação.

Na versão final do programa, seria uma boa idéia dar a getNumber um nome mais descritivo do seu novo papel.

20.6 Manipulando erros ¶

Ao longo do analisador sintático tínhamos suposto que as expressões (de entrada) são bem formadas. Por exemplo, quando atingimos o fim de uma subexpressão, supomos que o próximo caractere é um facha parêntesis. Caso haja um erro e o próximo caractere seja algo diferente, devemos tratar disto.

::

class BadExpressionError(Exception):

pass

def getNumber(tokenList) :

if getToken(tokenList, ‘(‘) :

x = getSum(tokenList) if not getToken(tokenList, ‘)’):

raise BadExpressionError(‘missing parenthesis’)

return x

else :

# the rest of the function omitted

O comando raise cria uma exceção; neste caso criamos uma classe de exceção, chamada de BadExpressionError. Se a função que chamou getNumber, ou uma das outras funções no traceback, manipular a exceção, então o programa pode continuar. Caso contrário Python vai imprimir uma mensagem de erro e terminará o processamento em seguida.

A título de exercício, encontre outros locais nas funções criadas onde erros possam ocorrer e adiciona comandos ``raise`` apropriados. Teste seu código com expressões mal formadas.

20.7 A árvore dos animais ¶

Nesta seção, desenvolvemos um pequeno programa que usa uma árvore para representar uma base de conhecimento.

O programa interage com o usuário para criar uma árvore de perguntas e de nomes de animais. Segue uma amostra da funcionalidade:

Are you thinking of an animal? y
Is it a bird? n
What is the animals name? dog
What question would distinguish a dog from a bird? Can it fly
If the animal were dog the answer would be? n

Are you thinking of an animal? y
Can it fly? n
Is it a dog? n
What is the animals name? cat
What question would distinguish a cat from a dog? Does it bark
If the animal were cat the answer would be? n

Are you thinking of an animal? y
Can it fly? n
Does it bark? y
Is it a dog? y
I rule!

Are you thinking of an animal? n

Aqui está a árvore que este diálogo constrói:

No começo de cada rodada, o programa parte do topo da árvore e faz a primeira pergunta. Dependendo da resposta, ele segue pelo filho esquerdo ou direito e continua até chegar numa folha. Neste ponto ele arrisca um palpite. Se o palpite não for correto, ele pergunta ao usuário o nome de um novo animal e uma pergunta que distingue o palpite errado do novo animal. A seguir, adiciona uma célula à árvore contendo a nova pergunta e o novo animal.

Aqui está o código:

def animal() :
   # start with a singleton
   root = Tree("bird")

   # loop until the user quits
   while 1 :
     print
     if not yes("Are you thinking of an animal? ") : break

     # walk the tree
     tree = root
     while tree.getLeft() != None :
       prompt = tree.getCargo() + "? "
       if yes(prompt):
         tree = tree.getRight()
       else:
         tree = tree.getLeft()

     # make a guess
     guess = tree.getCargo()
     prompt = "Is it a " + guess + "? "
     if yes(prompt) :
       print ("I rule!")
       continue

     # get new information
     prompt  = "What is the animal\'s name? "
     animal  = input(prompt)
     prompt  = "What question would distinguish a %s from a %s? "
     question = input(prompt % (animal,guess))

     # add new information to the tree
     tree.setCargo(question)
     prompt = "If the animal were %s the answer would be? "
     if yes(prompt % animal) :
       tree.setLeft(Tree(guess))
       tree.setRight(Tree(animal))
     else :
       tree.setLeft(Tree(animal))
       tree.setRight(Tree(guess))

A função yes é um auxiliar; ele imprime um prompt e em seguida solicita do usuário uma entrada. Se a resposta começar com y ou Y, a função devolve um valor verdadeiro:

def yes(ques) :
  from string import lower
  ans = lower(input(ques))
  return (ans[0:1] == 'y')

A condição do laço externo é 1`, que significa que ele continuará até a execução de um comando break, caso o usuário não pense num animal.

O laço while interno caminha na árvore de cima para baixo, guiado pelas respostas do usuário.

Quando uma nova célula é adicionada à árvore, a nova pergunta substitui a carga e os dois filhos são o novo animal e a carga original.

Uma falha do programa é que ao sair ele esquece tudo que lhe foi cuidadosamente ensinado!

A título de exercício, pense de várias jeitos para salvar a árvore do conhecimento acumulado num arquivo. Implemente aquele que Você pensa ser o mais fácil.

20.8 Glossário ¶

árvore binária (binary tree): Uma árvore em que cada célula tem zero, um ou dois descendentes.
raiz (root): A célula mais alta de uma árvore, a (única) célula de uma árvore que não tem pai.
folha (leaf): Uma célula mais baixa numa árvore; uma célula que não tem descendentes.
pai (parent): A célula que aponta para uma célula dada.
filho (child): Uma célula apontada por uma célula dada.
irmãos (siebling): Células que tem o mesmo pai.
nível (level): Um conjunto de células equidistantes da raiz.
operador binário (binary operator): Um operador sobre dois operandos.
subexpressão (subexpression): Uma expressão entre parêntesis que se comporta como um operando simples numa expressão maior.
pré-ordem (preorder): Uma forma de percorrer uma árvore visitando cada célula antes dos seus filhos.
notação prefixa (prefix notation): Uma forma de escrever uma expressão matemática em que cada operador aparece antes dos seus operandos.
pós-ordem (postorder): Uma forma de percorrer uma árvore visitando os filhos de cada célula antes da própria célula.
in-ordem (inorder): Uma forma de percorrer uma árvore visitando a subárvore esquerda, seguida da raiz e finalmente da subárvore direita.